抛物线通径公式

抛物线性质

1.焦半径公式：(y2=2px(p>0))|MF|=2x0M(x0,y0)为抛物线上任意一点的坐标；

2.|AB|=cos2θ(x2=2py(p>0))(通径是最短的焦点弦)。

补充

1、焦半径公式：(y2=2px(p>0))|MF|=2x0M(x0,y0)为抛物线上任意一点的坐标

2、通径|AB|=2p

3、焦点弦

（1）、|AB|=p+x1+x2

（2）、|AB|=2psin2θ2pP(y2=2px(p>0))

（3）、|AB|=cos2θ(x2=2py(p>0))(通径是最短的焦点弦)

（4）、焦点弦的端点坐标A（x1,y1），B（x2，y2）,则有x1x2=,y1y2=-p24p2

（5）、n=1+cosθ,m=1−cosθm+n=p

抛物线

平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

一般式:y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0）

顶点式:y=a(X-h）2+k（a、h、k为常数，a≠0）

交点式（两根式）：y=a（x-x1）（x-x2） （a≠0）

其中抛物线y=aX2+bX+c(a、b、c为常数，a≠0）与x轴交点坐标，即方程aX2+bX+c=0的两实数根。

抛物线四种方程的异同

共同点

①原点在抛物线上，离心率e均为1 ②对称轴为坐标轴；

③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。

不同点

①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；

②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。

扩展

A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在抛物线y2=2px上，则有：

① 直线AB过焦点时，x1x2 = p²/4 ， y1y2 = -p²；

（当A，B在抛物线x²=2py上时，则有x1x2 = -p² ， y1y2 = p²/4 ， 要在直线过焦点时才能成立）

② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[（sinθ）2]=（x1+x2）/2+P；

③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P；（其中长的一条长度为P/（1-cosθ），短的一条长度为P/（1+cosθ））

④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）；

⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F的距离等于P到准线L的距离）；

⑥弦长公式：AB=√（1+k2）*│x1-x2│；

⑦△=b2-4ac；

⑴△=b2-4ac>0有两个实数根；

⑵△=b2-4ac=0有两个一样的实数根；

⑶△=b2-4ac<0没实数根。

⑧由抛物线焦点到其切线的垂线的距离是焦点到切点的距离与到顶点距离的比例中项；

⑨标准形式的抛物线在（x0，y0 ）点的切线是：yy0=p（x+x0）

（注:圆锥曲线切线方程中x²=x*x0 ， y² =y*y0 ， x=（x+x0）/2 ， y=（y+y0）/2 ）