实对称矩阵与对称矩阵区别

如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)，(i,j为元素的脚标)，则称A为实对称矩阵。

主要性质

1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2.实对称矩阵A的特征值都是实数。

3.n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4.若A具有k重特征值λ0 必有k个线性无关的特征向量，或者说秩r(λ0E-A)必为n-k，其中E为单位矩阵。

5.实对称矩阵A一定可正交相似对角化。

对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵；A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件；对角矩阵都是对称矩阵；两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同；若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵；一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立；如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵；n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。

对称矩阵的一个例子

然而，虽然定义简单如斯，但却意义非凡。在这篇文章中，我们将看一看它们的重要属性，直观地解释它们，并介绍其应用。

厄米特矩阵（The Hermitian matrix）是对称矩阵的复扩展，这意味着在厄米特矩阵中，所有元素都满足：

厄米特矩阵的共轭转置与自身相同。因此，它具有对称矩阵所具有的所有性质。

厄米特矩阵的一个例子

在这篇文章中，我主要讨论的是实数情况，即对称矩阵，以使分析变得简单一些，同时在数据科学中，我们遇到的也大都是实矩阵，因为我们要处理现实世界的问题。

对称矩阵的最重要的性质

本节将介绍对称矩阵的三个最重要的性质。它们涉及这些矩阵的特征值和特征向量的行为，这是区别对称矩阵和非对称矩阵的基本特征。

对称矩阵有实数特征值

这可以很容易地用代数法证明（正式的、直接的证明，而不是归纳法、矛盾法等）。首先，快速回顾一下特征值和特征向量。

矩阵A的特征向量是，在A作用于它之后，方向不变的向量。方向没有改变，但向量大小可以改变。

实数特征值给我们提供了线性变换中的拉伸或缩放信息，不像复数特征值，它没有 "大小"。