焦点三角形面积公式

双曲线焦点三角形面积公式：S=b²cot(θ/2)。双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。

三角形的面积公式

S=1/2PF₁PF₂sinα

=b²sinα/(1-cosα)

=b²cot(α/2)

设∠F₁PF₂=α

双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1

因为P在双曲线上,由定义|PF₁-PF₂|=2a

在焦点三角形中,由余弦定理得

F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁PF₂cosα

=|PF₁-PF₂|²+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα

(2c)²=(2a)²+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα

PF₁PF₂=[(2c)²-(2a)²]/2(1-cosα)

=2b²/(1-cosα)

双曲线焦点三角形性质

1、双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线。

2、双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点。

3、双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切。

4、双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点。

5、双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与a-c。

6、双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c。

7、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e。

扩展

椭圆

(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex

(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）

双曲线

(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex

(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}

抛物线

(1)焦点弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²H）{H为弦AB的倾斜角}

(2)设直线：与抛物线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}

焦点弦是由两个在同一条直线上的 焦半径构成的。焦点弦长就是这两个 焦半径长之和。⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B两点，记q=a^2/c-c，是焦准距， e是离心率。

令|FE|=m，|ED|=n，则m+n=|FD|。当且仅当，时取|CD|最小值2a。定理1 （配极理论的原则），若点P的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P。

补充

焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示(圆锥曲线第二定义)。

因此，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。这是一个很好的性质。焦点弦长就是这两个焦半径长之和。

此外，由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。(注意斜率不存在的情况！即垂直于x轴！)