等比级数求和公式

等比级数求和公式

等比级数若收敛，则其公比q的绝对值必小于1。

故当n趋向于无穷时，等比数列求和公式中q的n次方趋于0（|q|<1），此时Sn=a1/(1-q)。

q大于1时等比级数发散。

等比数列(又名几何数列):是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

扩展

等比数列求和公式

q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

q=1时Sn=na1

(a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比)

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。注：q=1 时，{an}为常数列。利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。

等比数列求和公式推导

Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)

Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)

a(n+1)=a1qn

Sn=a1(1-qn)/(1-q)（q≠1）

等差数列和公式

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)/2 d

等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。

通项公式

An=A1*q^（n－1）；

推广式

An=Am·q^(n－m)；

求和公式

Sn=nA1(q=1)

Sn=[A1(1-q)^n]/(1-q)

性质

①若 m、n、p、q∈N,且m＋n=p＋q,则am·an=ap*aq；

②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.

在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.

注意：上述公式中A^n表示A的n次方.

对于一个数列 {an}，如果任意相邻两项之商（即二者的比）为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比 q ；从第一项a1 到第n项an 的总和，记为Tn 。

那么， 通项公式为 (即a1 乘以q 的 （n-1)次方，其推导为“连乘原理”的思想：a2=a1 * q,

a3= a2 * q,

a4= a3 * q,

an=an-1 * q,

将以上(n-1)项相乘，左右消去相应项后，左边余下an ， 右边余下a1和(n-1)个q的乘积，也即得到了所述通项公式。

此外， 当q=1时 该数列的前n项和：Sn=nA1(q=1)

当q≠1时 该数列前n 项的和：Sn=[A1(1-q)^n]/(1-q)

等差数列

对于一个数列{ an }，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定之差位公差，记为 d ；从第一项 a1到第n项 an的总和，记为Sn 。

那么 ， 通项公式为An=A1*q^（n－1）

，其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想：

将以上 n-1 个式子相加， 便会接连消去很多相关的项 ，最终等式左边余下an ，而右边则余下a1和 n-1 个d,如此便得到上述通项公式。

此外， 数列前 n 项的和 ，其具体推导方式较简单，可用以上类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再复述。

值得说明的是， ，也即，前n项的和Sn 除以 n 后，便得到一个以a1 为首项，以 d /2 位公差的新数列，利用这一特点可以使很多涉及Sn的数列问题迎刃而解。